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PESQUISA OPERACIONAL¶

MAXIMINIZAÇÃO¶

Exercício 2 (ENADE)¶

Uma fábrica produz dois refrigerantes: A e B. Para produzí-los, utilizam-se vários recursos, entre os quais os extratos e a água são os mais limitantes, devido a problemas ecológicos.

Para produzir um litro do refrigerante A, o processo envolve a dissolução de um pacote do extrato (denominado Delta)em um litro de água, além de outros recursos que não são limitantes.

Já a produção de um litro do refrigerante B, além da dissolução de um pacote de extrato (denominado Gama) em um litro de água, exige mais um litro de outros recursos para o processo de arrefecimento, além de outros recursos não limitantes.

Sabe-se que:

a) O lucro gerado por litro de A é R\$5, enquanto que o lucro por litro de B é R\$2.

b) O fornecedor de extratos só consegue entregar 3.000 pacotes de extrato Delta e 4.000 pacotes de extrato Gama, semanalmente.

c) Há umf ator ambiental limitante de 9.000 litros de água por semana.

Denominando de $X1$ a quantidade de litros de refrigerante A e $X2$, a quantidade de refrigerante B a serem produzidos, qual deverá ser o plano de produção semanal viável para gerar o maior lucro a essa fábrica, dentro das condições apresentadas?

In [ ]:
 

Solução pelo Método Gráfico:¶

Função Objetivo:

$$ Max \, Z = 5X_{1} + 2X_{2} $$

Sujeito a

\begin{align} X_{1} \le 3.000\\ X_{2} \le 4.000\\ X_{1} + 2X_{2} \le 9.000\\ X_{1}, X_{2} \ge 0 \end{align}

grafico-ex-2.png

$ A(0,0) \quad\quad Z_{A} = 0$

$ B(3000,0) \quad\quad\quad Z_{B} = 5.3000 + 2.0 = 15.000$

$ C(3000,3000) \quad\quad Z_{C} = 5.3000 + 2.3000 = 21.000 $

$ D(1000,4000) \quad\quad Z_{D} = 5.1000 + 2.4000 = 13.000$

$ E(0,4000) \quad \quad \quad Z_{E} = 5.0 + 2.4000 = 8.000$

In [ ]:
 

Solução pelo Método Simplex¶

1. Inserir as variáveis de folga

$ Z -5X_{1} - 2X_{2} = 0 $

$ X_{1} + f_{1} = 3000 $

$ X_{2} + f_{2} = 4000 $

$ X_{1} + 2X_{2} + f_{3} = 9000 $

2. Construção do Tabela inicial

>
$ Z $ $ X_{1} $ $ X_{2} $ $ f_{1} $ $ f_{2} $ $ f_{3} $ LD
L1 1 -5 -2 0 0 0 0
L2 0 1 0 1 0 0 3000
L3 0 0 1 0 1 0 4000
L4 0 1 2 0 0 1 9000

A linha L1 é referente a função objetivo (L). A linha L2 é a primeira variável de folga ($f_{1}$) e assim por diante.

In [ ]:
 

3. Seleção da Coluna Pivô

A coluna pivô é coluna que tem o maior valor absoluta entre varáveis não básicas ($X_{1}$ e $X_{2}$).

Calcular a coluna Quociente dividindo os valores de LD pelos valores da colunas pivô.

$ Z $ $ X_{1} $ $ X_{2} $ $ f_{1} $ $ f_{2} $ $ f_{3} $ LD Quociente
L1 1 -5 -2 0 0 0 0 -
L2 0 1 0 1 0 0 3000 3000
L3 0 0 1 0 1 0 4000
L4 0 1 2 0 0 1 9000 9000

4. Seleção da Linha Pivô (LP)

A linha pivô é a que possui o menor valor de quociente.

$ Z $ $ X_{1} $ $ X_{2} $ $ f_{1} $ $ f_{2} $ $ f_{3} $ LD Quociente
L1 1 -5 -2 0 0 0 0 -
L2 0 1 0 1 0 0 3000 3000
L3 0 0 1 0 1 0 4000
L4 0 1 2 0 0 1 9000 9000

A interseção entre a coluna pivô e a linha pivô, indica o elemento pivô, que no presente caso é 1.

5. Calcular a Nova Linha Pivô (NLP)

$ NLP = \displaystyle\frac{1}{pivô}.LP$

Onde: $pivô$ = elemento pivô

$ NLP = \displaystyle\frac{1}{1}.(0,1,0,1,0,0,3000)$

$ NLP = (0,1,0,1,0,0,3000)$

6. Primeira Iteração

Mantem-se a nova linha pivô na tabele e calcula-se a nova linha 1 (L1).

$ NL1 = L1 - coeficiente \,da \,linha1 \,. NLP$

$NL1 = (1,-5,-2,0,0,0,0) - (-5) . (0,1,0,1,0,0,3000)$

$NL1 = (1,-5,-2,0,0,0,0) + (0,5,0,5,0,0,15000)$

$NL1 = (1, 0, -2, 5, 0, 0, 15000)$

$ Z $ $ X_{1} $ $ X_{2} $ $ f_{1} $ $ f_{2} $ $ f_{3} $ LD
L1 1 0 -2 5 0 0 15000
L2 0 1 0 1 0 0 3000
L3
L4

Calcular as interações para a nova linha 3 (NL3) e a nova linha 4 (L4).

$NL3 = L3 - coeficiente \,da \,linha3 \,. NLP$

$NL3 = (0, 0, 1, 0, 1, 0, 4000) - 0 . (0,1,0,1,0,0,3000)$

$NL3 = (0, 0, 1, 0, 1, 0, 4000)$

$ Z $ $ X_{1} $ $ X_{2} $ $ f_{1} $ $ f_{2} $ $ f_{3} $ LD
L1 1 0 -2 5 0 0 15000
L2 0 1 0 1 0 0 3000
L3 0 0 1 0 1 0 4000
L4

$NL4 = L4 - coeficiente \,da \,linha4 \,. NLP$

$NL4 = (0,1,2,0,0,1,9000) - 1 \,. (0,1,0,1,0,0,3000)$

$NL4 = (0,1,2,0,0,1,9000) - (0,1,0,1,0,0,3000)$

$NL4 = (0,0,2,-1,0,1,6000)$

$ Z $ $ X_{1} $ $ X_{2} $ $ f_{1} $ $ f_{2} $ $ f_{3} $ LD
L1 1 0 -2 5 0 0 15000
L2 0 1 0 1 0 0 3000
L3 0 0 1 0 1 0 4000
L4 0 0 2 -1 0 1 6000

O valor negativo -2 na variável não básica $X_{2}$ indica que a iteração ainda não acabou.

7. Preparação para Segunda Interação

A coluna da variável não básica $X_{2}$ possui o maior valor absoluto entre as varíaveis não básicas, portanto é a nova coluna pivô.

$ Z $ $ X_{1} $ $ X_{2} $ $ f_{1} $ $ f_{2} $ $ f_{3} $ LD Quociente
L1 1 0 -2 5 0 0 15000 -
L2 0 1 0 1 0 0 3000 -
L3 0 0 1 0 1 0 4000 4000
L4 0 0 2 -1 0 1 6000 3000

A linha L4 é a linha pivô, pois possui o menor valor de quociente.

$ Z $ $ X_{1} $ $ X_{2} $ $ f_{1} $ $ f_{2} $ $ f_{3} $ LD Quociente
L1 1 0 -2 5 0 0 15000 -
L2 0 1 0 1 0 0 3000 -
L3 0 0 1 0 1 0 4000 4000
L4 0 0 2 -1 0 1 6000 3000

8. Calcular a nova linha Pivô

$ NLP = \displaystyle\frac{1}{pivô}.LP$

$ NLP = \displaystyle\frac{1}{2}.(0,0,2,-1,0,1,6000)$

$ NLP = (0,0,1,-0.5,0,0.5,3000)$

9. Calcular a Segunda Iteração

Mantem-se a nova linha pivô e calcula-se as novas linhas 1, 2 e 3.

A linha 3 não foi modificada, assim permanece associada a variável de folga 2 ($f_{2}$). A linha 1 indica a varível objetivo, a linha 2 representa a variável não básica $X_{1}$, e a linha 4 representa a variável não básica $X_{2}$

$ Z $ $ X_{1} $ $ X_{2} $ $ f_{1} $ $ f_{2} $ $ f_{3} $ LD
L1
L2
L3
L4 0 0 1 0.5 0 0.5 3000

$NL1 = L1 - coeficiente \,da \,linha1 \,. NLP$

$NL1 = (1,0,-2,5,0,0,15000) - (-2).(0,0,1,-0.5,0,0.5,3000)$

$NL1 = (1,0,-2,5,0,0,15000) + (0,0,2,-1,0,1,6000)$

$NL1 = (1,0,0,4,0,1,21000)$

$ Z $ $ X_{1} $ $ X_{2} $ $ f_{1} $ $ f_{2} $ $ f_{3} $ LD
L1 1 0 0 4 0 1 21000
L2
L3
L4 0 0 1 0.5 0 0.5 3000

Em razão de todas as varíaveis não básicas serem iguaias a zero, indica que a iteração acabou. Outro indicativo de fim de iteração é quando estas variáveis são todas positivas. Assim, não é necessário calcular as linhas 2 e 3, porém, vamos calcular.

$NL2 = L2 - coeficiente \,da \,linha2 \,. NLP$

$NL2 = (0,1,0,1,0,0,3000) - 0.(0,0,1,-0.5,0,0.5,3000)$

$NL2 = (0,1,0,1,0,0,3000)$

$NL3 = L3 - coeficiente \,da \,linha3 \,. NLP$

$NL3 = (0,0,1,0,1,0,4000) - 1.(0,0,1,-0.5,0,0.5,3000)$

$NL3 = (0,0,1,0,1,0,4000) - (0,0,1,-0.5,0,0.5,3000)$

$NL3 = (0,0,0,0.5,1,-0.5,1000)$

$ Z $ $ X_{1} $ $ X_{2} $ $ f_{1} $ $ f_{2} $ $ f_{3} $ LD
L1 1 0 0 4 0 1 21000
L2 0 1 0 1 0 0 3000
L3 0 0 0 0.5 1 -0.5 1000
L4 0 0 1 0.5 0 0.5 3000

A linha 1 indica que o lucro máximo será de 21.000

As linhas 2 e 4 indicam que as quantidades dos refrigerantes $X_{1}$ e $X_{2}$ que devem ser produzidas para maximinizar o lucro são 3.000 litros de cada.

A linha 3, associada a variável de folga 2, indica que ao final do processo de produção sobrarão 1000 litros do extrato Gama.

Solução usando o Solver do Excel¶

Maximinizacao_Exercicio_2.gif

In [ ]: